REPASO DEL BLOQUE
El uso de técnicas de estudio para mejorar el desempeño en la escuela o en la universidad es algo común entre los jóvenes y adolescentes que desean superarse de forma permanente. Unas de las técnicas más conocidas, pero menos comprendidas, es la del repaso. El repaso consiste en la relectura o revisión de material leído previamente a fines de asentarlo en la memoria de largo plazo. El método que utilicemos para efectuar este repaso determinará directamente la eficacia con la que, posteriormente, lograremos recuperar el material almacenado.
Números naturales: lectura, escritura y comparación
Se denomina como número natural a aquel número que permite contar los elementos de un conjunto. El 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8… son números naturales.
Números decimales: lectura, escritura y comparación
Los números enteros siempre se escriben a la izquierda del punto decimal y se agrupan en órdenes de unidades, decenas y centenas. Los números que se encuentran a la derecha del punto decimal se llaman decimales. Éstos indican que la unidad se ha dividido en 10, 100, 1000, 10 000 o más partes iguales. El primer número que se encuentra a la derecha del punto decimal corresponde a los décimos y el segundo a los centésimos y el tercero a los milésimos.
Un décimo se representa así: 0.1; un centésimo así: 0.0,1 y un milésimo se representa así: 0.001.
Los números enteros siempre se escriben a la izquierda del punto decimal y se agrupan en órdenes de unidades, decenas y centenas. Los números que se encuentran a la derecha del punto decimal se llaman decimales. Éstos indican que la unidad se ha dividido en 10, 100, 1000, 10 000 o más partes iguales. El primer número que se encuentra a la derecha del punto decimal corresponde a los décimos y el segundo a los centésimos y el tercero a los milésimos.
Un décimo se representa así: 0.1; un centésimo así: 0.0,1 y un milésimo se representa así: 0.001.
Números fraccionarios: lectura, escritura y comparación.
En un número fraccionario, el numerador indica el número de partes por considerar, mientras que el denominador, la cantidad total de partes iguales en las que está dividido el todo. Cuando el numerador es mayor que el denominador, se tiene una fracción impropia , es decir, una cantidad mayor que la unidad. Si el numerador es múltiplo del denominador, es un número entero. Si no se trata de ninguna de las dos situaciones anteriores, tenemos una fracción propia.
En las fracciones se lee primero el numerador y después el denominador:
3/5: tres quintos es una fracción propia; 9/7: nueve séptimos es una fracción impropia ; y 21/7
: veintiún séptimos es un número entero , igual que 3.
Se pueden comparar dos números fraccionarios al localizarlos en la recta numérica. Se divide la unidad en el número de partes iguales que indica el denominador y se cuenta de izquierda a derecha la cantidad que indica el numerador.
EJERCICIO EN CLASSROOM
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Algoritmos convencionales de adición con naturales y decimales. Problemas
Anabel ahorró $19 675 y Flor $11 128. ¿Qué cantidad tendrán en total si juntan su dinero?
La manera de sumar estos números (naturales) es la siguiente:
1 11
19 675
+ 11 128
30 803
Es de utilidad escribir las cantidades acumuladas que se sumarán como se muestra en la suma de la izquierda. Estos números indican la cantidad de decenas, centenas y decenas de millar acumuladas.
Por tanto, Anabel y Flor juntan $30 803.
Si Benito tiene $19.675 y Óscar $11.128, ¿qué cantidad tienen en total?
Para sumar números decimales, el procedimiento es similar al aplicado con los naturales. Se suman milésimos con milésimos, centésimos con centésimos, décimos con décimos, unidades con unidades y así sucesivamente. Por tanto, Benito y Óscar juntan $30.803.
1 11
19.675
+ 11.128
30.803
El punto decimal siempre debe estar a la izquierda de la misma cantidad de cifras decimales que tengan los sumandos.
Para sumar 0.82 + 0.492, los números se acomodan así:0.820
+ 0.492 Y el resultado es 1.312.
Algoritmos convencionales de adición con fraccionarios. Problemas.
Si Karina tiene 11/7 kilogramos de harina en un bote, y 5/7 kilogramos de harina en una
bolsa, ¿qué cantidad de harina tiene Karina en total?
11/7 + 5/7 = 16/7; entonces, Karina tendrá 16/7 kilogramos de harina.
Si Javier tiene 3/2 de litro de leche en una jarra y 5/7 de litro en otra, ¿cuántos litros de leche tiene Javier en total?
Si los denominadores son diferentes, para hacer la suma basta hallar las fracciones equivalentes con igual denominador. Una manera de obtener fracciones equivalentes es identificando si uno de los denominadores es múltiplo del otro y se considera el mayor como denominador común.Si ninguno de los denominadores es múltiplo del otro, se obtiene el mínimo común múltiplo de los denominadores para que sea el denominador de las fracciones equivalentes; o se multiplican los denominadores, así el producto será el denominador común de las fracciones equivalentes.
El numerador, en cada caso, se obtiene dividiendo el denominador común entre el de cada fracción original y el cociente que se obtenga se multiplica por el numerador original.
Por último se suman las fracciones con igual denominador.
3/2 + 5/7 = 21/14 + 10/14 = 31/14 Javier tiene en total 31/14 litros de leche.
Problemas mutiplicativos con fracciones o decimales
Para calcular el porcentaje de un número se multiplica la cantidad por el porcentaje, escrito en forma decimal o de fracción.
Por ejemplo, para calcular 15% de 35, se hace la operación: 15% se puede trabajar como 0.15
0.15 X 35 = 5.25
Escribiendo el porcentaje como fracción:
15
100 X 35
Es decir, se tiene que hacer la multiplicación de una fracción por un número natural.
El siguiente procedimiento muestra cómo multiplicar
15
100 por 35:
- Se multiplica el numerador de la fracción, 15, por el número 35:
15 X 35 = 525
- Este será el numerador de la fracción que resulta:
525
100
- Esta expresión ya se puede dividir; en este caso la operación es sencilla porque se trata de una fracción decimal:
525
100 = 5.25
Ejes de simetría de una figura
Un eje de simetría es una línea recta que divide a una figura en dos partes iguales, de manera que al doblar la figura por esa línea las dos partes coinciden exactamente.
El eje de simetría es una línea imaginaria, pero se puede dibujar.
Figuras simétricas
Una figura es simétrica si tiene al menos un eje de simetría.
Dos figuras son simétricas entre sí, respecto de un eje, si al hacer un doblez sobre este, las figuras coinciden exactamente una sobre la otra, que sería como colocar un espejo sobre dicho doblez para que refleje “del lado contrario” la imagen; por ejemplo, el reflejo de un paisaje sobre un lago.
Ubicación de objetos en una cuadricula
Para localizar un punto en una cuadrícula, se identifica el renglón o fila y la columna en que se encuentra. Las cuadrículas ayudan a ubicar, de manera sencilla y ordenada, objetos, representaciones o puntos en un plano.
La rana se encuentra en la columna c y la fila 2.
La ardilla está en la columna g y la fila 3.
Cálculo de distancias reales
En los mapas y en los planos se identifican rutas para trasladarse de un lugar a otro. Estas pueden ser cortas, largas o equivalentes, considerando las distancias entre los puntos de salida y de llegada.
Las rutas suelen ser muy diversas, pero casi siempre se recurre a la más corta para reducir el tiempo de recorrido.
Los mapas se dibujan a escala porque es imposible trazarlos con las distancias reales; además, esto facilita calcular la longitud del camino por recorrer.
En las escalas, el primer número indica la distancia en la reproducción, y el segundo, la real.
En un mapa hecho a una escala 1:10 000, cada centímetro equivale a diez mil centímetros o 100 metros.
Las rutas suelen ser muy diversas, pero casi siempre se recurre a la más corta para reducir el tiempo de recorrido.
Los mapas se dibujan a escala porque es imposible trazarlos con las distancias reales; además, esto facilita calcular la longitud del camino por recorrer.
En las escalas, el primer número indica la distancia en la reproducción, y el segundo, la real.
En un mapa hecho a una escala 1:10 000, cada centímetro equivale a diez mil centímetros o 100 metros.
Porcentaje: Aplicación de fracción común o decimal
Cálculo del tanto porciento
Un porcentaje, por ejemplo, 25% (se lee 25 por ciento), y se refiere a una correspondencia: 25 por cada 100; es decir, que por cada cien unidades se consideran solo 25. Esto se puede revisar en el siguiente caso: si una prenda de vestir tiene 25% de descuento, quiere decir que por cada 100 pesos se descontarán 25.
Si la prenda de vestir cuesta $520 y tiene 25% de descuento, se calcula de la siguiente manera: 520 × 0.25 = 130
Es decir, el descuento es de $130; por tanto, $520 – $130 = $390. La prenda de vestir cuesta $390 con el descuento incluido.
Tabla de datos y gráficas circulares
En la representación y el análisis de datos de una tabla o de una gráfica circular se debe identificar el tipo de información que aparece y lo que representan.
Si en la gráfica circular se representan porcentajes, hay una relación entre el ángulo central (rebanada) del círculo y el porcentaje representado: 360° 100% Entonces, 50% 180°; 25% 90°;
10% 360°; y así sucesivamente.
Si se quiere conocer el ángulo que corresponde, por ejemplo, a 35.2%, basta multiplicar: 35.2 × 360 = 12 672; y el resultado se divide entre 100, 12 672 ÷ 100 = 126.72.
Por tanto, el ángulo de la sección que representa 35.2% debe ser de 126.720º Es conveniente verificar que los porcentajes representados en el círculo, suman en total 100.
EJERCICIO EN CLASSROOM
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Fracciones en la recta numérica
Para localizar un número fraccionario en la recta numérica, primero se debe ubicar el origen. La unidad se divide en el número de partes iguales que indica el denominador y se llega a la fracción requerida contando de izquierda a derecha la cantidad que indica el numerador. Ejemplo:
Otra forma de encontrar una fracción en una recta es usar una hoja rayada.
• Primero se determina el origen y una longitud que represente la unidad.
• Se coloca el origen sobre una de las líneas de la hoja rayada.
• Se desplaza la recta hasta el renglón que represente el número del denominador y se hace coincidir el uno con ese renglón: ¡así la recta quedará dividida en las partes iguales necesarias!
Por ejemplo, para localizar 3/4, se desplaza la recta hasta que coincida la unidad con el cuarto renglón, así quedará dividida en cuatro partes idénticas y se podrá ubicar fácilmente 1/4, 2/4, 3/4 y 4/4.
Decimales en la recta numérica
Para localizar un número decimal en la recta numérica, que esté entre el cero y el uno, primero se debe establecer el origen y la unidad, o bien, determinar la longitud que tendrá la unidad.
Si el número tiene una cifra decimal, entonces basta con que la unidad esté dividida
en diez partes iguales, de manera que cada parte represente un décimo.
Por ejemplo, si se quiere localizar el 0.3, se cuentan a partir del cero tres divisiones del segmento:
El método de la hoja rayada, presentado en la lección anterior, también puede ser de utilidad para hallar números decimales, incluso con dos cifras.
Por ejemplo, localizar 0.75 es muy sencillo, pues se busca su equivalente en fracción que es 3/4, entonces se desplaza la recta hasta que coincida la unidad con el cuarto renglón, así quedará dividida en cuatro partes idénticas y se podrá ubicar fácilmente 3/4=0.75.
EJERCICIO EN CLASSROOM
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Multiplicación por 10, 100, 1 000 .... (naturales)
En las siguientes multiplicaciones hay un comportamiento parecido:
2 × 10 = 20 2 × 100 = 200
51 × 10 = 510 51 × 100 = 5 100
¿Puedes inferir el resultado que se obtiene si se multiplica por mil?
2 × 1 000 = 2 000
51 × 1 000 = 51 000
Cuando se multiplica un número entero por diez (10), el resultado tiene las mismas cifras que el número entero más un cero a la derecha.
Si se multiplica por cien (100), el resultado tendrá dos ceros a la derecha del número entero.
Para la multiplicación de un número por mil (1 000) el resultado incluirá tres ceros a la derecha después de las cifras del entero.
Multiplicación por 10, 100, 1 000 .... (decimales)
Con base en los siguientes resultados, ¿se puede inferir el resultado si se multiplica por mil un número decimal?
0.2 × 10 = 2 0.2 × 100 = 20
0.51 × 10 = 5.1 0.51 × 100 = 51
Al multiplicar un número decimal por diez, el punto decimal se recorre un lugar a la derecha; cuando se multiplica por cien, el punto decimal se recorre dos lugares a la derecha respecto de su posición original.
Cuando ya no hay cifras decimales explícitas, se agrega un cero. Entonces:
0.2 × 1 000 = 200
0.51 × 1 000 = 510
Al multiplicar un número decimal por mil, el punto decimal se recorre tres lugares a la derecha respecto de su posición original, y se agregan los ceros necesarios a la derecha del número original
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